2013 Yeni Permütasyonla ilgili çözümlü sorular, permutasyon soruları ve cevapları çözümlü

Sponsorlu Bağlantılar

Permutasyon-Konu-Anlatimi-115-2.gif (344×192)

Permütasyon ile ilgili çözümlü sorular aşağıdadır. Konu ile ilgili video çözümlü sorular konunun altında yer almaktadır.

SORU 1:

5 Fizik,4 Matematik ve 2 Türkçe kitabı, bir kitaplığın rafına yanyana sıralanacaktır.

Aynı dersten olan kitaplar yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilir ?

ÇÖZÜM 1:

Fizik kitapları kendi aralarında 5! farklı şekilde.

Matematik kitapları kendi aralarında 4! farklı şekilde.

Türkçe kitapları kendi aralarında 2! farklı şekilde.

3 kitap kendi arasında 3! şekilde sıralanır.

4!.5!.2!.3! farklı şekilde dizilebilir.

———————————————————M.K.————————————————————–

SORU 2:

A={a,b,c,d,e,f}

kümesinin 3′lü permütasyonlarının kaç tanesinde a elemanı bulunur ?

ÇÖZÜM 2:

6 elemanlı kümenin 3 elemanlı permütasyonlarının sayısı;

P(6,3)=6!/(6-3)!=120

a’nın eleman olarak bulunmadığı 3′lü permütasyon sayısı,

P(5,3)=5!/(5-3)!=60

O halde a kümesinin 3 lü permütasyonlarının

120-60=60

tanesinde a eleman olarak bulunur.

———————————————————M.K.————————————————————–

SORU 3:

Farklı, 2 matematik, 3 fizik, 4 kimya kitabı bir rafa sıralanacaktır. Sıralama kaç farklı şekilde yapılır ?

ÇÖZÜM 3:

Toplam 9 kitap var.
1. sıraya 9
2. sıraya 8
3. sıraya 7
.
.
9. sıraya 1 farklı şekilde kitaplar yerleştirilir.

o halde 9.8.7….1=9! şekilde sıralanırlar.

———————————————————M.K.————————————————————–

SORU 4:

2233444 sayısının rakamları yer değiştirilerek kaç farklı yedi basamaklı sayı yazılır ?

ÇÖZÜM 4:

Tekrarlı permütasyondan çözebiliriz.

7!/(2!.2!.3!)=210 olarak bulunur.

———————————————————M.K.————————————————————–

SORU 5:

A={a,b,c,d,e}

kümesinin üçlü permütasyonlarının kaçında a veya b bulunur. ?

ÇÖZÜM 5:

A kümesinin elemanları arasından a ve b yi ayırırsak kalan elemanlardan oluşturacağımız 3′lü permütasyonlar

P(3,3)=6 olur.

Buna göre 5 elemanlı A kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin tamamından a ve b nin bulunmadığı durumu çıkartırsak soruda istenen şartı sağlarız.

P(5,3)-P(3,3)=60-6=54 olur.

———————————————————M.K.————————————————————–

SORU 6:

3 farklı oyuncak 7 çocuğa, her çocukta en fazla bir oyuncak olması koşuluyla kaç farklı biçimde dağıtılabilir ?

ÇÖZÜM 6:

Birinci oyuncak 7. çocuğa 7 farklı şekilde
Birinci oyuncak 6. çocuğa 6 farklı şekilde
Birinci oyuncak 5. çocuğa 5 farklı şekilde

Buna göre 3 farklı oyuncak 7 çocuğa her çocuğa en fazla bir oyunca vermek koşulu ile

7.6.5=210 farklı şekilde dağıtılır.

———————————————————M.K.————————————————————–

SORU 7:

Farklı, 2 matematik, 3 fizik, 4 kimya kitabı bir rafa sıralanacaktır. Sıralama kaç farklı şekilde yapılır ?

ÇÖZÜM 7:

Toplam 9 kitap var.
1. sıraya 9
2. sıraya 8
3. sıraya 7
.
.
9. sıraya 1 farklı şekilde kitaplar yerleştirilir.

o halde 9.8.7….1=9! şekilde sıralanırlar.

———————————————————M.K.————————————————————–

SORU 8:

40 soruluk bir sınavda seçenek sayısı 4′tür. Art arda gelen iki sorunun cevap seçeneğinin aynı olmaması şartıyla kaç farklı cevap anahtarı yazılabilir ?

ÇÖZÜM 8:

Birinci sorunun cevabı için 4 seçenek vardır. Ancak ikinci soru için 3 seçenek olur çünkü ardışık iki sorunun cevabı aynı olmayacak
o halde
1. soru için 4
2. soru için 3
3. soru için 3
4. soru için 3
.
.
40.soru için 3 farklı cevap anahtarı yazılır.

=4.339 bulunur.

———————————————————M.K.————————————————————–

SORU 9:

4.P(n,2)=P(n,3) olduğuna göre n kaçtır ?

ÇÖZÜM 9:

4n.(n-1)=n(n-1).(n-2)
4=n-2=> n=6 bulunur.

———————————————————M.K.————————————————————–

SORU 10:

3 farklı pantolon,4 farklı ceket ve 5 farklı gömleği olan bir kişi bir pantolon, bir ceket ve bir gömleği kaç farklı şekilde giyebilir ?

ÇÖZÜM 10:

Bir pantolon için 3 farklı seçenek
Bir ceket için 4 farklı seçenek
Bir gömlek için 5 farklı seçenek
Bu üç olay birlikte gerçekleştiği için 3.4.5=60 bulunur.

———————————————————M.K.————————————————————–

SORU 11:

A,B ve C kentleri için A dan B’ye , B den C’ye 4 farklı yol bulunmaktadır. B ye uğramak koşuluyla A dan C ye gitmek isteyen kişi kaç farklı yol kullanabilir ?

ÇÖZÜM 11:

A’dan B ye 2 yol
B den C ye 4 yol olduğundan
2.4=8 farklı yol kullanılabilir.

———————————————————M.K.————————————————————–

SORU 12:

3,4,5,6 rakamlarıyla kaç tane 4 basamaklı doğal sayı yazılır ?

ÇÖZÜM 12:

abcd 4 basamaklı sayımız olsun

a yerine gelebilecek sayı 4 farklı şekilde

b yerine gelebilecek sayı 4 farklı şekilde

c yerine gelebilecek sayı 4 farklı şekilde

d yerine gelebilecek sayı 4 farklı şekilde seçilebilir.

O halde hepsi birden istendiği için 4.4.4.4=256 tane sayı yazılabilir.

VİDEOLU SORU ÇÖZÜMÜ

 

 

ÜSS-ÖYS-ÖSS-YGS-LYS SINAVLARINDA ÇIKMIŞ PERMÜTASYON – KOMBİNASYON SORULARI ve ÇÖZÜMLERİ

1966-2013
Bu Test’i PDF olarak indirmek için Giriş Yapınız Giriş, Kayıt ol

DÜET MATEMATİK İLE EZBERLERİ BOZUYORUZ. NASIL MI? >>TIKLAYIN !<<

ODTÜ’LÜLER MATEMATİK KAMP PROGRAMLARI İÇİN TIKLAYINIZ

1.

Çözümünü Görmek için TIKLA
2.

Çözümünü Görmek için TIKLA

3.

Çözümünü Görmek için TIKLA
4.

Çözümünü Görmek için TIKLA

5.

Çözümünü Görmek için TIKLA
6.

Çözümünü Görmek için TIKLA

7.

Çözümünü Görmek için TIKLA
8.

Çözümünü Görmek için TIKLA

9.

Çözümünü Görmek için TIKLA
10.

Çözümünü Görmek için TIKLA

11.

Çözümünü Görmek için TIKLA
12.

Çözümünü Görmek için TIKLA

13.

Çözümünü Görmek için TIKLA
14.

Çözümünü Görmek için TIKLA

15.

Çözümünü Görmek için TIKLA
16.

Çözümünü Görmek için TIKLA

17.

Çözümünü Görmek için TIKLA
18.

Çözümünü Görmek için TIKLA

19.

Çözümünü Görmek için TIKLA
20.

Çözümünü Görmek için TIKLA

21.

Çözümünü Görmek için TIKLA


22.

Çözümünü Görmek için TIKLA


23.

Çözümünü Görmek için TIKLA


24.

Çözümünü Görmek için TIKLA


25.

Çözümünü Görmek için TIKLA


26.

Çözümünü Görmek için TIKLA


27.

Çözümünü Görmek için TIKLA


28.

Çözümünü Görmek için TIKLA


29.

Çözümünü Görmek için TIKLA


30.

Çözümünü Görmek için TIKLA


31.

Çözümünü Görmek için TIKLA


32.

Çözümünü Görmek için TIKLA


33.

Çözümünü Görmek için TIKLA


34.

Çözümünü Görmek için TIKLA


35.

Çözümünü Görmek için TIKLA
36.

Çözümünü Görmek için TIKLA

37.

Çözümünü Görmek için TIKLA

ÇÖZÜMLER
1.

Soruya Geri DÖN
2.

Soruya Geri DÖN

3.

Soruya Geri DÖN
4.


Soruya Geri DÖN

5.

Soruya Geri DÖN
6.

Soruya Geri DÖN

7.


Soruya Geri DÖN
8.

Soruya Geri DÖN

9.

Soruya Geri DÖN
10.

Soruya Geri DÖN

11.

Soruya Geri DÖN
12.

Soruya Geri DÖN

13.


Soruya Geri DÖN
14.

Soruya Geri DÖN

15.

Soruya Geri DÖN
16.

Soruya Geri DÖN

17.

Soruya Geri DÖN
18.

Soruya Geri DÖN

19.

Soruya Geri DÖN


20.

Soruya Geri DÖN


21.

Soruya Geri DÖN


22.

Soruya Geri DÖN


23.

Soruya Geri DÖN


24.

Soruya Geri DÖN


25.

Soruya Geri DÖN


26.

Soruya Geri DÖN


27.

Soruya Geri DÖN


28.

Soruya Geri DÖN


29.

Soruya Geri DÖN


30.

Soruya Geri DÖN


31.

Soruya Geri DÖN


32.

Soruya Geri DÖN


33.


Soruya Geri DÖN


34.

Soruya Geri DÖN


35.

Soruya Geri DÖN


36.

Soruya Geri DÖN


37.

PERMÜTASYON, PERMÜTASYON ÇEŞİTLERİ, PERMÜTASYON ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

 

n elemanlı bir kümenin elemanlarını bir sırada yazmaya onun bir Permütasyonu denir.

 

Örneğin üç elemanlı bir a,b,c kümesinde  bir permütasyon (a, c, b) başka bir permütasyondur.

 

Permütasyonların Sayısı

 

n elemanlı bir kümenin elemanlarının pemü-tasyonlarının sayısı P(n, n) biçiminde gösterilir.

 

Değeri P(n, n) = n! dir.

 

(çarpma kuralı ile bulunduğuna dikkat ediniz.)

 

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin permütasyonlarının sayısı P(n, r) ile gösterilir. P(n,r) yi hesaplıyalım.

 

n elemanlı kümenin r elemanlı bir alt kümesinde r tane eleman vardır. Bunların yerlerine kaç tane eleman yazılabileceğini altına yazalım ve çarpma kuralını uygulayalım.

 

 

 

o halde

çarpımıdır.

Bunu basitleştirmek için paydayı 1 kabul edip pay ve paydayı (n-r)! İle çarpalım,

 

 

buna göre,

 

formülü bulunur.

 

 

PERMÜTASYONLA İLGİLİ ÖRNEK PROBLEMLER, SORULAR

 

ÖRNEK:

 

Ankara’da arabalara üç harf ve 2 rakam kullanılarak plaka verilmektedir. (kullanılan harf sayısı 25 ve aynı harf birden fazla kullanılmaktadır.) Buna göre kaç arabaya plaka verilebilir.

 

ÇÖZÜM:

 

 

S = 25.25.25.10.10 = 1562500 arabaya plaka verilir.

 

ÖRNEK:

 

Bir erkek öğrencinin 2 çift ayakkabısı, 2 ceket, 4 pantolon 3 gömleği ve üç değişik kravatı bulunmaktadır. Bunları kullanarak (hergün bir şeyi farklı olarak) giyinecektir. Kaç gün değişik kıyafetle çıkabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

Çarpma kuralı gereği bu değişik şeylerin çarpımı kadar gün değişik kıyafet giyer.

 

2.2.4.3.3 = 144 gün

 

ÖRNEK:

 

Bir otomobilde 5 kişilik yer vardır. (sürücü yeri dahil) 2 sinin sürücü belgesi bulunan beş kişi bu otomobilde kaç değişik biçimde seyahat edebilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

sürücü yerine 2 değişik kişi oturabilir. Diğer yerlere sıra ile 4, 3, 2, 1 değişik kişi oturabilir. O halde çarpma kuralı gereği 2.4! = 48 değişik biçimde oturabilirler.

 

ÖRNEK:

 

kümesinin elemanları ile üç basamaklı, rakamları tekrarsız kaç sayı yazılabilir.

 

ÇÖZÜM:

 

çarpma kuralı gereğince 5.4.3 = 60 sayı yazılabilir.

 

ÖRNEK:

 

MERSİN kelimesindeki 6 harfle anlamlı yada anlamsız kaç sözcük yazılabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

P(6, 6) = 6! Kadar sözcük yazılabilir.

 

n elemandan (a) tanesi aynı ise bunların permütasyonlarının sayısı

 

 

ÖRNEK:

 

SİVAS kelimesindeki harflerle anlamlı yada anlamsız 6 harfli kaç sözcük yazılabilir.

 

ÇÖZÜM:

 

S harfi iki kez olduğu için bu ikisi aynıdır. O halde

 

 

 

n elemandan bazıları aynı ise örneğin n1 tanesi aynı n2 tanesi de başka aynı ise bunlarla n elemanın permütasyonlarının (bilgi yelpazesi.net) sayısı    dir.

 

ÖRNEK:

 

MARMARA kelimesindeki harflerle 7 harfli anlamlı yada anlamsız kaç sözcük yazılabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

MARMARA kelimesindeki harflerden 2 tanesi M, üç tanesi A ve iki tanesi de R dir.

 

O halde,

 

 

sözcük yazılabilir.

 

ÖRNEK:

 

4 tane 2 rakamı, 2 tane 5 rakamı ve diğerleri 4, 6 rakamları olan 8 rakamları olan 8 rakamla kaç değişik sekiz basamaklı sayı yazılabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

 

tane sekiz basamaklı değişik sayı yazılabilir.

 

ÖRNEK:

 

5 arkadaştan ikisi kızdır. Bunlar 5 kişilik bir bankta oturmak istiyorlar. İki kız daima yan yana oturmak koşulu ile bu banka kaç değişik biçimde oturabilirler ?

 

ÇÖZÜM:

 

Kız öğrenciler A ve B ise (A, B) yi, bir kişi gibi düşünürsek 4 kişi gibi olur ve 4! Kadar otururlar. Ancak (A, B) de (A, B) ve (B, A) gibi iki değişik hal vardır. Çarpma kuralı gereğince; 2! . 4! = 2.24 = 48 değişik biçimde otururlar.

 

ÖRNEK:

5 arkadaştan ikisi küstür. 5 kişilik bir bankta oturmak istiyorlar. İki küs arkadaş yan yana gelmemek koşulu ile kaç değişik biçimde otururlar ?

 

ÇÖZÜM:

 

Önce iki kişi yan yana olmak koşulu ile oturabilme bulunur. Bu sayı 2!4! dir. (bir önceki problemi inceleyiniz) 5 öğrenci bu banka 5! değişik biçimde otururlar. Bu sayıdan yan yana oturma sayısını çıkarırsak; yan yana aturmama sayısı bulunur.

 

5! – 2!4! = 120 – 48 = 72 değişik biçimde otururlar.

 

ÖRNEK:

 

(3, 3, 3, 2, 2, 4, 4, 4) rakamları ile 8 basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

Üç tane 3, iki tane 2 ve üç tane 4 olduğu için

 

değişik sayı yazılabilir.

 

ÖRNEK:

 

Beş değişik oyuncak 3 çocuğa kaç değişik biçimde dağıtılabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

Oyuncalar değişik olduğu için bu bir sıralama problemi ve permütasyondur. 5 elemanın üçlü permütasyonudur. O halde

 

değişik biçimde dağıtılabilir.

 

ÖRNEK:

 

6 kitap, kitaplıkta bir rafa kaç değişik biçimde sıralanabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

Altının altılı permütasyonu kadar sıraya konulabilir. P(6, 6) = 6! = 720 değişik sırada yerleştirilebilir.

 

ÖRNEK:

 

Bir öğrencinin 3 matematik, 2 fizik ve 4 türkçe kitabı vardır. Her branştaki kitaplar yan yana gelmek koşulu ile bir rafa kaç değişik biçimde yerleştirilebilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

Matematik kitapları 3!, fizik kitapları 2! ve Türkçe kitapları 4! Kadar sıraya konur. Ancak bunlar Matematik, Fizik ve Türkçe (bilgi yelpazesi.net) olmak üzere üç branştır. Bunlar da kendi arasında 3! kadar sıraya konabilir. Yani (M, F, T) yada (M, T, F) gibi değişik 3! sırada dizilebilir.

O halde çarpma kuralı gereği 3!2!4! . 3! = 6.2.24.6 = 1728 değişik biçimde yerleştirilebilir ?

 

ÖRNEK:

 

6 arkadaş sinemaya gitti. Boş olan 4 tane numaralı sandalye ye kaç değişik biçimde oturabilirler ?

 

ÇÖZÜM:

Yerler  değişik  numarada  olduğu için permütasyondur.(sıra önemli) O halde

 

bulunur.

 

ÖRNEK:

İki torbanın her birinde, üzerlerinde 1 den 12 ye kadar numara bulunan bilyeleri vardır. Her birinden 1 bilye alınarak ikili gruplar elde ediliyor. Kaç değişik ikili elde edebilirsiniz. ?

 

ÇÖZÜM:

 

Her  birinde  değişik  12 şer  bilye olduğu için bunların çarpımı kadar değişik ikili elde edilir.

12.12 = 144 (değişik ikili)

 

ÖRNEK:

 

6 kişiden ikisi önde 4 ü arkada olmak üzere sıralanarak fotoğraf çektirilecektir. Kaç poz resim çekilebilir.

 

ÇÖZÜM:

 

Önde

 

arkadakiler = P(4, 4) = 4! dir. O halde

 

poz bulunur. (hepsinin aynı sırada olmasının sonucu değiştirmeyeceğine dikkat ediniz.)

 

ÖRNEK:

 

P(n, 4) = 42.P(n, 2) ise n kaçtır. P (n, r) n elemanlı r li permütasyonların sayısıdır.

 

ÇÖZÜM:

 

 

 

sadeleşme yapılarak (n-2) . (n-3) = 42 bulunur.

O halde

n² – 5n + 6 – 42 = 0

n² – 5n – 36 = 0

(n-9)(n+4) = 0  n = 9 ; n = -4

(n= -4) olamaz. O halde n = 9 dur.

 

ÖRNEK:

 

kümesinin elemanları ile yazılabilen  5 rakamlı sayılardan kaç tanesinde 2 rakamı vardır.

 

ÇÖZÜM:

 

2 rakamı hepsinde bulunacağı için 2 yi ayrı tutarsak geriye kalan 5 elemanın 4 lü permütasyonları kadar (2 hariç) dört rakamlı sayı yazılabilir. 2 sayısı bu 4 rakamlı sayıda 5 değişik   yerde  olabileceği  için  çarpma yöntemi gereği

 

sayı bulunur.

 

ÖRNEK:

 

10 kişi üzeri numaralı 8 sandalyeye kaç değişik şekilde oturabilir

 

ÇÖZÜM:

 

kadar değişik biçimde oturabilir.

 

 

 

DAİRESEL PERMÜTASYON

 

Bir kümenin elemanlarını bir dairenin çevresi etrafında sıralamaya dairesel permütasyon yada dönel sıralama denir. (Dairesel permü-tasyonlarda bir elemanın bulunduğu yer önemli değil sadece sağında ve solunda bulunan elemanlar önemlidir.) n elemanın Dairesel permütasyonların sayısı:

(n-1)! dir.

 

ÖRNEK:

 

Beş kişi yuvarlak bir masa etrafına kaç değişik biçimde oturabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

Dairesel permütasyon olduğu için

(5-1)! = 4! = 24 değişik biçimde oturabilirler.

 

ÖRNEK:

 

3 erkek, 2 kız arkadaş yuvarlak bir masa etrafına iki kız daima yan yana oturmak koşuluyla kaç değişik biçimde oturabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

A ve B kızlar ise (A, B) yi bir eleman olarak alırsak artık 4 kişi olur ve 3! kadar otururlar. Ancak iki kız (A, B) biçiminde olduğu gibi (B, A) biçiminde de alınabilir.

Çarpma kuralı ile bulunur.

2! . 3! = 12 değişik biçimde oturabilirler.

 

ÖRNEK:

 

7 arkadaştan belli iki kişi yan yana gelmemek koşulu ile daire biçiminde bir masa etrafına kaç değişik biçimde oturabilirler ?

 

ÇÖZÜM:

 

Önce tüm oturabilme sayısı  bulunur. Sonra belli iki kişinin yan yana gelme sayısı bulunur.

Bunlar birbirinden çıkarılınca yan yana gelmeme sayısı bulunmuş olur.

Tüm oturma sayısı (7-1)! = 6! = 720; belli ikisi yan yana oturma sayısı

2! (6-1)! = 2.5! = 2.120 = 240 istenilen belli iki kişinin yan yana oturmama sayısı ise:

720 – 240 = 480 bulunur.

 

ÖRNEK:

 

Daire şeklinde bir masa da 4 çocuk ve 4 bayan daima iki bayan arasında 1 çocuk bulunmak koşulu ile kaç değişik biçimde oturabilirler ?

 

ÇÖZÜM:

 

Önce  4  çocuğu birer atlayarak 4ün dairesel permütasyonu  kadar yönü

(4-1)! = 3! = 6 değişik biçimde otururlar. Araya bayanları oturtacağımız için bunların sayısı normal permütasyondur. 4! = 24 olur.

 

Çarpma kuralı gereği tüm sayı 3! 4! = 6 . 24 = 144 bulunur.

 

 

 

ANAHTARLIK PROBLEMLERİ

 

Anahtarlıklar havada döndürülebildiği için (pozitif yada negatif yön önemli değildir.) dairesel permütasyon sayısının yarısını almak (bilgi yelpazesi.net) gerekir. Ancak daire şeklindeki bir anahtarlığa maskot ilave edilmişse (anahtar maskotlu ise) normal permütasyon uygulanır ve yarısı alınır. (n>2 olmak üzere), (n) anahtar,maskotsuz anahtarlığa  ; mas-kotlu anahtarlığa   değişik biçimde takılabilir.

 

ÖRNEK:

 

5 değişik anahtar halka şeklinde maskotsuz bir anahtarlığı kaç değişik biçimde takılabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

bulunur.

 

ÖRNEK:

 

6 değişik anahtar halka şeklinde maskotlu bir anahtarlığa kaç değişik biçimde takılabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

değişik biçimde takılabilir.

 

ÖRNEK:

 

Bir çocuk değişik renkte ve büyüklükte 5 boncukla halka şeklinde bir kolye yapmak istiyor.(klips takmadan) Bu boncuklar kaç değişik biçimde yerleştirilebilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

 

değişik biçim olur.

 

Not: Eğer klips taksydı diğer yanına geçeme-seydi o zaman

 

değişik biçimde olurdu.

 

PERMÜTASYON, PERMÜTASYON ÇEŞİTLERİ, PERMÜTASYON ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÖRNEKLER, ÇÖZÜMLÜ SORULAR)

 

n elemanlı bir kümenin elemanlarını bir sırada yazmaya onun bir Permütasyonu denir.

 

Örneğin üç elemanlı bir a,b,c kümesinde  bir permütasyon (a, c, b) başka bir permütasyondur.

 

Permütasyonların Sayısı

 

n elemanlı bir kümenin elemanlarının pemü-tasyonlarının sayısı P(n, n) biçiminde gösterilir.

 

Değeri P(n, n) = n! dir.

 

(çarpma kuralı ile bulunduğuna dikkat ediniz.)

 

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin permütasyonlarının sayısı P(n, r) ile gösterilir. P(n,r) yi hesaplıyalım.

 

n elemanlı kümenin r elemanlı bir alt kümesinde r tane eleman vardır. Bunların yerlerine kaç tane eleman yazılabileceğini altına yazalım ve çarpma kuralını uygulayalım.

 

 

 

o halde

çarpımıdır.

Bunu basitleştirmek için paydayı 1 kabul edip pay ve paydayı (n-r)! İle çarpalım,

 

 

buna göre,

 

formülü bulunur.

 

 

PERMÜTASYONLA İLGİLİ ÖRNEK PROBLEMLER, SORULAR

 

ÖRNEK:

 

Ankara’da arabalara üç harf ve 2 rakam kullanılarak plaka verilmektedir. (kullanılan harf sayısı 25 ve aynı harf birden fazla kullanılmaktadır.) Buna göre kaç arabaya plaka verilebilir.

 

ÇÖZÜM:

 

 

S = 25.25.25.10.10 = 1562500 arabaya plaka verilir.

 

ÖRNEK:

 

Bir erkek öğrencinin 2 çift ayakkabısı, 2 ceket, 4 pantolon 3 gömleği ve üç değişik kravatı bulunmaktadır. Bunları kullanarak (hergün bir şeyi farklı olarak) giyinecektir. Kaç gün değişik kıyafetle çıkabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

Çarpma kuralı gereği bu değişik şeylerin çarpımı kadar gün değişik kıyafet giyer.

 

2.2.4.3.3 = 144 gün

 

ÖRNEK:

 

Bir otomobilde 5 kişilik yer vardır. (sürücü yeri dahil) 2 sinin sürücü belgesi bulunan beş kişi bu otomobilde kaç değişik biçimde seyahat edebilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

sürücü yerine 2 değişik kişi oturabilir. Diğer yerlere sıra ile 4, 3, 2, 1 değişik kişi oturabilir. O halde çarpma kuralı gereği 2.4! = 48 değişik biçimde oturabilirler.

 

ÖRNEK:

 

kümesinin elemanları ile üç basamaklı, rakamları tekrarsız kaç sayı yazılabilir.

 

ÇÖZÜM:

 

çarpma kuralı gereğince 5.4.3 = 60 sayı yazılabilir.

 

ÖRNEK:

 

MERSİN kelimesindeki 6 harfle anlamlı yada anlamsız kaç sözcük yazılabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

P(6, 6) = 6! Kadar sözcük yazılabilir.

 

n elemandan (a) tanesi aynı ise bunların permütasyonlarının sayısı

 

 

ÖRNEK:

 

SİVAS kelimesindeki harflerle anlamlı yada anlamsız 6 harfli kaç sözcük yazılabilir.

 

ÇÖZÜM:

 

S harfi iki kez olduğu için bu ikisi aynıdır. O halde

 

 

 

n elemandan bazıları aynı ise örneğin n1 tanesi aynı n2 tanesi de başka aynı ise bunlarla n elemanın permütasyonlarının (bilgi yelpazesi.net) sayısı    dir.

 

ÖRNEK:

 

MARMARA kelimesindeki harflerle 7 harfli anlamlı yada anlamsız kaç sözcük yazılabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

MARMARA kelimesindeki harflerden 2 tanesi M, üç tanesi A ve iki tanesi de R dir.

 

O halde,

 

 

sözcük yazılabilir.

 

ÖRNEK:

 

4 tane 2 rakamı, 2 tane 5 rakamı ve diğerleri 4, 6 rakamları olan 8 rakamları olan 8 rakamla kaç değişik sekiz basamaklı sayı yazılabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

 

tane sekiz basamaklı değişik sayı yazılabilir.

 

ÖRNEK:

 

5 arkadaştan ikisi kızdır. Bunlar 5 kişilik bir bankta oturmak istiyorlar. İki kız daima yan yana oturmak koşulu ile bu banka kaç değişik biçimde oturabilirler ?

 

ÇÖZÜM:

 

Kız öğrenciler A ve B ise (A, B) yi, bir kişi gibi düşünürsek 4 kişi gibi olur ve 4! Kadar otururlar. Ancak (A, B) de (A, B) ve (B, A) gibi iki değişik hal vardır. Çarpma kuralı gereğince; 2! . 4! = 2.24 = 48 değişik biçimde otururlar.

 

ÖRNEK:

5 arkadaştan ikisi küstür. 5 kişilik bir bankta oturmak istiyorlar. İki küs arkadaş yan yana gelmemek koşulu ile kaç değişik biçimde otururlar ?

 

ÇÖZÜM:

 

Önce iki kişi yan yana olmak koşulu ile oturabilme bulunur. Bu sayı 2!4! dir. (bir önceki problemi inceleyiniz) 5 öğrenci bu banka 5! değişik biçimde otururlar. Bu sayıdan yan yana oturma sayısını çıkarırsak; yan yana aturmama sayısı bulunur.

 

5! – 2!4! = 120 – 48 = 72 değişik biçimde otururlar.

 

ÖRNEK:

 

(3, 3, 3, 2, 2, 4, 4, 4) rakamları ile 8 basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

Üç tane 3, iki tane 2 ve üç tane 4 olduğu için

 

değişik sayı yazılabilir.

 

ÖRNEK:

 

Beş değişik oyuncak 3 çocuğa kaç değişik biçimde dağıtılabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

Oyuncalar değişik olduğu için bu bir sıralama problemi ve permütasyondur. 5 elemanın üçlü permütasyonudur. O halde

 

değişik biçimde dağıtılabilir.

 

ÖRNEK:

 

6 kitap, kitaplıkta bir rafa kaç değişik biçimde sıralanabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

Altının altılı permütasyonu kadar sıraya konulabilir. P(6, 6) = 6! = 720 değişik sırada yerleştirilebilir.

 

ÖRNEK:

 

Bir öğrencinin 3 matematik, 2 fizik ve 4 türkçe kitabı vardır. Her branştaki kitaplar yan yana gelmek koşulu ile bir rafa kaç değişik biçimde yerleştirilebilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

Matematik kitapları 3!, fizik kitapları 2! ve Türkçe kitapları 4! Kadar sıraya konur. Ancak bunlar Matematik, Fizik ve Türkçe (bilgi yelpazesi.net) olmak üzere üç branştır. Bunlar da kendi arasında 3! kadar sıraya konabilir. Yani (M, F, T) yada (M, T, F) gibi değişik 3! sırada dizilebilir.

O halde çarpma kuralı gereği 3!2!4! . 3! = 6.2.24.6 = 1728 değişik biçimde yerleştirilebilir ?

 

ÖRNEK:

 

6 arkadaş sinemaya gitti. Boş olan 4 tane numaralı sandalye ye kaç değişik biçimde oturabilirler ?

 

ÇÖZÜM:

Yerler  değişik  numarada  olduğu için permütasyondur.(sıra önemli) O halde

 

bulunur.

 

ÖRNEK:

İki torbanın her birinde, üzerlerinde 1 den 12 ye kadar numara bulunan bilyeleri vardır. Her birinden 1 bilye alınarak ikili gruplar elde ediliyor. Kaç değişik ikili elde edebilirsiniz. ?

 

ÇÖZÜM:

 

Her  birinde  değişik  12 şer  bilye olduğu için bunların çarpımı kadar değişik ikili elde edilir.

12.12 = 144 (değişik ikili)

 

ÖRNEK:

 

6 kişiden ikisi önde 4 ü arkada olmak üzere sıralanarak fotoğraf çektirilecektir. Kaç poz resim çekilebilir.

 

ÇÖZÜM:

 

Önde

 

arkadakiler = P(4, 4) = 4! dir. O halde

 

poz bulunur. (hepsinin aynı sırada olmasının sonucu değiştirmeyeceğine dikkat ediniz.)

 

ÖRNEK:

 

P(n, 4) = 42.P(n, 2) ise n kaçtır. P (n, r) n elemanlı r li permütasyonların sayısıdır.

 

ÇÖZÜM:

 

 

 

sadeleşme yapılarak (n-2) . (n-3) = 42 bulunur.

O halde

n² – 5n + 6 – 42 = 0

n² – 5n – 36 = 0

(n-9)(n+4) = 0  n = 9 ; n = -4

(n= -4) olamaz. O halde n = 9 dur.

 

ÖRNEK:

 

kümesinin elemanları ile yazılabilen  5 rakamlı sayılardan kaç tanesinde 2 rakamı vardır.

 

ÇÖZÜM:

 

2 rakamı hepsinde bulunacağı için 2 yi ayrı tutarsak geriye kalan 5 elemanın 4 lü permütasyonları kadar (2 hariç) dört rakamlı sayı yazılabilir. 2 sayısı bu 4 rakamlı sayıda 5 değişik   yerde  olabileceği  için  çarpma yöntemi gereği

 

sayı bulunur.

 

ÖRNEK:

 

10 kişi üzeri numaralı 8 sandalyeye kaç değişik şekilde oturabilir

 

ÇÖZÜM:

 

kadar değişik biçimde oturabilir.

 

 

 

DAİRESEL PERMÜTASYON

 

Bir kümenin elemanlarını bir dairenin çevresi etrafında sıralamaya dairesel permütasyon yada dönel sıralama denir. (Dairesel permü-tasyonlarda bir elemanın bulunduğu yer önemli değil sadece sağında ve solunda bulunan elemanlar önemlidir.) n elemanın Dairesel permütasyonların sayısı:

(n-1)! dir.

 

ÖRNEK:

 

Beş kişi yuvarlak bir masa etrafına kaç değişik biçimde oturabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

Dairesel permütasyon olduğu için

(5-1)! = 4! = 24 değişik biçimde oturabilirler.

 

ÖRNEK:

 

3 erkek, 2 kız arkadaş yuvarlak bir masa etrafına iki kız daima yan yana oturmak koşuluyla kaç değişik biçimde oturabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

A ve B kızlar ise (A, B) yi bir eleman olarak alırsak artık 4 kişi olur ve 3! kadar otururlar. Ancak iki kız (A, B) biçiminde olduğu gibi (B, A) biçiminde de alınabilir.

Çarpma kuralı ile bulunur.

2! . 3! = 12 değişik biçimde oturabilirler.

 

ÖRNEK:

 

7 arkadaştan belli iki kişi yan yana gelmemek koşulu ile daire biçiminde bir masa etrafına kaç değişik biçimde oturabilirler ?

 

ÇÖZÜM:

 

Önce tüm oturabilme sayısı  bulunur. Sonra belli iki kişinin yan yana gelme sayısı bulunur.

Bunlar birbirinden çıkarılınca yan yana gelmeme sayısı bulunmuş olur.

Tüm oturma sayısı (7-1)! = 6! = 720; belli ikisi yan yana oturma sayısı

2! (6-1)! = 2.5! = 2.120 = 240 istenilen belli iki kişinin yan yana oturmama sayısı ise:

720 – 240 = 480 bulunur.

 

ÖRNEK:

 

Daire şeklinde bir masa da 4 çocuk ve 4 bayan daima iki bayan arasında 1 çocuk bulunmak koşulu ile kaç değişik biçimde oturabilirler ?

 

ÇÖZÜM:

 

Önce  4  çocuğu birer atlayarak 4ün dairesel permütasyonu  kadar yönü

(4-1)! = 3! = 6 değişik biçimde otururlar. Araya bayanları oturtacağımız için bunların sayısı normal permütasyondur. 4! = 24 olur.

 

Çarpma kuralı gereği tüm sayı 3! 4! = 6 . 24 = 144 bulunur.

 

 

 

ANAHTARLIK PROBLEMLERİ

 

Anahtarlıklar havada döndürülebildiği için (pozitif yada negatif yön önemli değildir.) dairesel permütasyon sayısının yarısını almak (bilgi yelpazesi.net) gerekir. Ancak daire şeklindeki bir anahtarlığa maskot ilave edilmişse (anahtar maskotlu ise) normal permütasyon uygulanır ve yarısı alınır. (n>2 olmak üzere), (n) anahtar,maskotsuz anahtarlığa  ; mas-kotlu anahtarlığa   değişik biçimde takılabilir.

 

ÖRNEK:

 

5 değişik anahtar halka şeklinde maskotsuz bir anahtarlığı kaç değişik biçimde takılabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

bulunur.

 

ÖRNEK:

 

6 değişik anahtar halka şeklinde maskotlu bir anahtarlığa kaç değişik biçimde takılabilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

değişik biçimde takılabilir.

 

ÖRNEK:

 

Bir çocuk değişik renkte ve büyüklükte 5 boncukla halka şeklinde bir kolye yapmak istiyor.(klips takmadan) Bu boncuklar kaç değişik biçimde yerleştirilebilir ?

 

ÇÖZÜM:

 

 

değişik biçim olur.

 

Not: Eğer klips taksydı diğer yanına geçeme-seydi o zaman

 

değişik biçimde olurdu.

PERMÜTASYONLA İLGİLİ ÖRNEK SORULAR

Permütasyon; birbirinden farklı elemanların değişik şekillerde sıralanışını gösterir.
Permütasyon olan ifadelerde:
Kaç türlü sıralanabilir?
Kaç türlü yazılabilir?
Kaç türlü dizilebilir yada poz verilebilir?
Anlamlı yada anlamsız kaç türlü kelime yazılabilir?
Halka ve yuvarlak masa etrafında kaç türlü oturulabilir?
n elemanlı bir kümenin r elemanlı permütasyonu:
P(n,r)=n! / (n-r)!
P(n,n)= n! p(0,0)= 1
P(n,0)= 1 P(n,1)= n
Dairesel Permütasyon: (n-2)!

PERMÜTASYONLA İLGİLİ ÖRNEK SORULAR

örnek: A şehrinden B şehrine 3 farklı yol B şehrinden C şehrine 5 farklı yol vardır. A şehrinden C şehrine gitmek isteyen bir kişi kaç değişik şekilde gider?
3 . 5 = 15 değişik şekilde gider.
örnek: 10 kişilik bir ekipten bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç değişik biçimde seçilir?
10 . 9 = 90 değişik şekilde seçilir.
örnek: 6 kişi 2 kişilik bir sıraya kaç değişik şekilde oturur?
P(6,2)=6! / (6-2)!
P(6,2)=720 / 24 = 30 değişik şekilde oturur.
örnek: 6 kişi yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?
6! = 1.2.3.4.5.6 = 720 farklı şekilde dizilebilir.

Sponsorlu Bağlantılar

Cumhuriyetin kuruluşundan önceki olaylar maddeler halinde kısa özet

Sonraki Sayfa »

Emniyet kemeri kullanılmadığında yaşanabilecek durumlar kısaca

Yorum Yaz

E-posta hesabınız yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Current ye@r *